===$C_p(\mathbb{R})$ é contrátil===
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Demonstração. De fato, para a função zero  **0** $\in C_p(\mathbb{R})$, podemos tomar a homotopia, $H:C_p(\mathbb{R})\times [0,1]\to C_p(\mathbb{R})$ definido por $H(f,t)= (1-t)f$, entre $Id_{C_p(\mathbb{R})}$ e **0**.