===$C_p(\mathbb{R})$ é conexo por caminhos===
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Demonstração. Seja $f\in C_p(\mathbb{R})$. Seja **0** a função zero em $C_p(\mathbb{R})$, e $H: [0, 1] \to C_p(\mathbb{R})$ definido por $s\mapsto H_s$ (onde $H_s: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ com $H_s(t) = (1-s)f(t), \forall t \in \mathbb{R}$). Considere $\pi_r: \mathbb{R}^\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como a projeção na $r$-ésima coordenada para todo $r \in \mathbb{R}$. Então, $\pi_r \circ H (s \mapsto (1-s)f(r))$ é contínua para cada $r \in \mathbb{R}$. Portanto, $H$ é contínua e $H(0) = f$ e $H(1) =$ **0**. Devido a que a conexidade por caminhos é uma relação de equivalência e $f$ era arbitrária, então qualquer par de funções em  $C_p(\mathbb{R})$ estão conectados por algum caminho. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é conexo por caminhos.