===$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular ===
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Demonstração. Em geral, [[topologia:prodcompregnormal| o produto arbitrario de espaços $T_{3\frac{1}{2}}$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ ]]. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_{3\frac{1}{2}}$ , então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ . Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ e completamente regular já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R},$ e [[topologia:exemplo:cp_r_t1| $C_p(\mathbb{R})$ é $T_1$]].