===$C_p(\mathbb{R})$ não é compacto===
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Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ é compacto, então é compacto Hausdorff (visto que [[topologia:exemplo:cp_r_t2| $C_p(\mathbb{R})$ é $T_2$]]). Devido a que [[dem:hausdorffcompacto-_localcompacto| Hausdorff-compacidade implica compacidade local]], temos que $C_p(\mathbb{R})$
é localmente compacto, o que é uma contradição pelo fato de [[topologia:exemplo:cp_r_loccompacto| C_p(\mathbb{R}) não é localmente compacto]].