===$C_p(\mathbb{R})$ não possui bases locais enumeráveis===
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Demonstração. Provaremos que não existe base local enumerável para algum $f\in C_p(\mathbb{R})$. Suponha que $\{U_n:n\in\mathbb{N}\}$ seja essa base para $f$. Para cada $n\in\mathbb{N}$, fixe um conjunto aberto padrão $W_n:= [x_1^n, ..., x_{k_n}^n; O_1^ n, ..., O_{k_n}^n]$ de modo que $f\in W_n\subset U_n$. É evidente que $\mathcal{B} =\{W_n:n\in\mathbb{N}\}$ também é um base local enumerável para $f$. Logo, o conjunto $P = \{x_j^i: i\in\mathbb{N}, j\in\{1, ..., k_i\} \}$ é enumerável e, portanto, existe $x_0 \in \mathbb{R}\setminus P$. Notar que o conjunto $W = [x_0, (f(x_0)-1, f(x_0)+1)]$ é aberto em $C_p (\mathbb{R})$ e $f \in W$. Visto que $\mathcal{B}$ é uma base local para $f$, existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $W_{n_0}\subset W$. Agora nós construímos uma função $g\in C_p(\mathbb{R})$ tal que $g(x_0) = f(x_0) + 2$ e $g(x_i^{n_0}) = f(x_i^{n_0})$ para todo $i\leq k_{n_0}$ (o que é possível porque $\mathbb{R}$ é Tychonoff). É imediato que $g\in W_{n_0}\setminus W$, o que é um absurdo.