===== $C_p(\mathbb{R})$ =====

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**Definição:** O espaço $C_p (\mathbb{R})$ denotará o conjunto de funções contínuas de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, com a topologia produto, i.e., é o espaço de todas as funções contínuas de valor real definidas em $\mathbb{R}$ (simbolizado por $C(\mathbb{R})$) dotado da topologia de subespaço herdado do espaço $\mathbb{R}^\mathbb{R}(=\prod_{x\in\mathbb{R}}\mathbb{R})$ com a topologia produto e onde cada $\mathbb{R}$ vem com a topologia usual. A topologia em $C_p(\mathbb{R})$ é chamada de topologia de convergência **p**ontual.

Agora precisamos de um bom controle sobre os conjuntos abertos no espaço funcional $C_p(\mathbb{R})$ a fim de provar resultados no referido espaço. Um conjunto básico aberto no espaço do produto $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ tem a forma $\prod_{x\in \mathbb{R}}U_x$ onde cada $U_x$ é um subconjunto aberto de $\mathbb{R}$ tal que $U_x =\mathbb{R}$ para todos, exceto finitamente muitos $x\in\mathbb{R}$. Assim, um conjunto básico aberto em $C_p(\mathbb{R})$ tem a forma:

$$C(\mathbb{R})\cap\biggl(\prod_{x\in\mathbb{R}} U_x\biggr), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tag1$$

onde cada $U_x$ é um subconjunto aberto de $\mathbb{R}$ e $U_x = \mathbb{R}$ para todos, exceto finitamente muitos $x \in\mathbb{R}$. Além disso, quando $U_x\neq\mathbb{R}$, podemos considerar $U_x$ como um intervalo aberto da forma $(a, b)$.\\

Para tornar os conjuntos abertos básicos de $C_p(\mathbb{R})$ mais explícitos, $(1)$ é traduzido da seguinte maneira:

$$\bigcap_{x\in F}[x, O_x] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tag2$$
onde $F\subset\mathbb{R}$ é um conjunto finito, para cada $x\in F$, $O_x$ é um intervalo aberto de $\mathbb{R}$, e $[x, O_x]$ é o conjunto de todos os $f\in C(\mathbb{R})$ tal que $f(x)\in O_x$.

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=== Axiomas de separação ===
  * [[Cp(R)T0|Satisfaz $T_{0}$.]] (Kolmogorov)
  * [[Cp(R)T1|Satisfaz $T_{1}$.]] (Fréchet)
  * [[Cp(R)T2|Satisfaz $T_{2}$.]] (Hausdorff)
  * [[Cp(R)Regular|Satisfaz $T_{3}$ e é regular.]]
  * [[Cp(R)CompRegular|Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular.]] (Tychonoff)
  * [[Cp(R)Normal|Satisfaz $T_{4}$ e é normal.]]

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=== Axiomas de enumerabilidade ===
  * [[Cp(R)BaseLocEnum|Não possui bases locais enumeráves.]] (Não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade)
  * [[Cp(R)BaseEnum|Não possui base enumerável.]]
  * [[Cp(R)Separavel|É separável.]]

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=== Propriedades de cobertura ===
  * [[Cp(R)Compacto|Não é compacto.]]
  * [[Cp(R)LocCompacto|Não é localmente compacto.]]
  * [[Cp(R)Lindelof|É de Lindelöf.]]
  * [[Cp(R)Paracompacto|É paracompacto.]]
 
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=== Propriedades de conexidade ===
  * [[Cp(R)Conexo|É conexo.]]
  * [[Cp(R)ConexoCaminhos|É conexo por caminhos.]]

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=== Outras propriedades ===
  * [[Cp(R)Contratil|É contrátil.]]
  * [[Cp(R)Metrizavel|Não é metrizável.]]
  * [[Cp(R)CompMetrizavel|Não é completamente metrizável.]]
  * [[Cp(R)CCC|É ccc.]] (Satisfaze a condição de cadeia contável)