==== $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é conexo ====

=== Demonstração ===
Vamos mostrar que os únicos conjuntos fechados e abertos são $\mathbb{Q}^{*}$ e $\emptyset$. Suponha que exista um conjunto fechado e aberto não trivial $A \subset \mathbb{Q}^{*}$. Suponha sem perda de generalidade que $p \in A$ (caso contrário, poderíamos tomar $A^{C}$, que também é aberto e fechado). Como $A \in \tau^{*}$ mas não é um aberto da topologia usual de $\mathbb{Q}$, então pela definição de $\tau^{*}$, $A^{C}$ é um compacto fechado de $\mathbb{Q}$. Porém, sabemos que qualquer subconjunto de $\mathbb{Q}$ que contém um subconjunto aberto não pode ser compacto (ver links abaixo). Assim, 
$$
A^{C} \text{ é compacto } \implies A^{C} \text{ não contém nenhum subconjunto aberto de } \mathbb{Q}
$$
Em particular, $A^{C}$ tem interior vazio e, logo, não pode ser aberto. Temos uma contradição com a hipótese de $A$ ser aberto e fechado, pois, em particular, $A$ deveria ser fechado.

$\square$

=== Links úteis ===
  * [[topologia:conexidadeintervalos|Conjuntos conexos]]
  * [[topologia:exemplo:compactificacaoqseparacao|$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{0}$ e $T_{1}$, e não satisfaz nenhum outro axioma de separação. Em particular, mostra-se que qualquer subconjunto de $\mathbb{Q}$ que contém um subconjunto aberto não pode ser compacto]]