==== Compactificação de um ponto de $\mathbb{Q}$ ====

=== Compactificação de um ponto de um espaço topológico ===

Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico não vazio. Seja $p \notin X$. Definimos a compactificação de um ponto de $X$ como
$$
X^{*} = X \cup \{ p \}
$$
cuja topologia $\tau^{*}$ é tal que $A \subset X^{*}$ é aberto se $A \in \tau$ ou $A = K^{C}$ sendo $K$ fechado e compacto em $\left( X, \tau \right)$.

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** Proposição 1: ** $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$ é compacto.

** Demonstração: ** De fato, seja $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta de $X^{*}$. Seja $A \in \mathcal{C}$ tal que $p \in A$. Note que $A \notin \tau$, pois $p \notin X$. Logo, pela definição de $\tau^{*}$, $A^{C}$ é um fechado compacto de $\left( X, \tau \right)$. Logo, $\exists A_{1},...,A_{n} \in \mathcal{C} \cap \tau$ tal que $A^{C} \subset \bigcup_{j = 1}^{n} A_{j}$. Note que $X^{*} = A \cup A_{1} \cup ... \cup A_{n}$ é uma subcobertura finita de $\mathcal{C}$. $\square$
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** Proposição 2: ** $\left( X^{*}, \tau^{*} \right) \text{ é } T_{1} \iff  \left( X, \tau \right) \text{ é } T_{1}$

** Demonstração: ** A implicação direta segue diretamente do fato de $\left( X, \tau \right)$ ser subespaço de $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$. 

Assuma que $\left( X, \tau \right)$ é $T_{1}$. Vamos mostrar que conjuntos unitários são fechados. Primeiramente, $X^{*} \setminus \{ p \} = X \in \tau$ e, logo, $\{ p \}^{C}$ é aberto. Agora, seja $x \in X^{*}$, $x \neq p$. Como $X$ é $T_{1}$, $X^{*} \setminus \{ x \}$ é um aberto de $X^{*}$ contendo $p$. Logo, $\{ x \}$ é fechado em $X^{*}$, e temos o resultado. $\square$.
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** Proposição 3: ** $\left( X^{*}, \tau^{*} \right) \text{ é } T_{2} \iff  \left( X, \tau \right) \text{ é } T_{2}$ e localmente compacto.

** Demonstração: ** Assuma que $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{2}$. Que $\left( X, \tau \right)$ é $T_{2}$, segue do fato de $X$ ser subespaço de $X^{*}$. Resta mostrar a compacidade local. Seja $x \in X$. Seja $U$ uma vizinhança aberta de $x$ e $V$ uma vizinhança aberta de $p$ com $U \cap V = \emptyset$. Então $V^{C}$ é uma vizinhança compacta de $x$.

Suponha agora que $\left( X, \tau \right)$ é $T_{2}$ e localmente compacto. Sejam $x,y \in X^{*}$. Se $x,y \in X$, então eles são separados por abertos disjuntos, pois $X$ é $T_{2}$ por hipótese. Seja então $y = p$ e $x \in X$. Seja $K \ni x$ uma vizinhança compacta de $x$. Então $K^{C}$ é um aberto de $X^{*}$ que contém $p$. É claro que qualquer aberto $V$ tal que $x \in V \subset K$ é disjunto de $K^{C}$. Assim, separamos $x$ de $p$ por abertos disjuntos. $\square$
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=== Compactificação de um ponto de $\mathbb{Q}$ ===
Seja $\left( \mathbb{Q}, \tau \right)$ o conjunto dos números racionais com a topologia usual induzida de $\mathbb{R}$. Defina $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ sua compactificação de um ponto, com $\mathbb{Q}^{*} = \mathbb{Q} \cup \{ p \}$.

== Axiomas de separação: ==
  * Satisfaz $T_{0}$
  * Satisfaz $T_{1}$
  * Não satisfaz $T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ou $T_{3\frac{1}{2}}$
  * [[compactificacaoqseparacao|Demonstração]]

== Axiomas de enumerabilidade ==
  * Não satisfaz os dois primeiros axiomas de enumerabilidade
  * É separável
  * [[compactificacaoqenumerabilidade|Demonstração]]

== Propriedades adicionais ==
  * É compacto (segue diretamente da definição)
  * É conexo ([[compactificacaoqconexo|Demonstração]])
  * Não é metrizável (Pois é separável e não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade)

=== Links úteis ===
  * [[topologia:defcompacto|Conjuntos compactos]]
  * [[topologia:espacot1|Espaços $T_{1}$]]
  * [[topologia:espacohausdorff|Espaços $T_{2}$]]
  * [[topologia:localmentecompacto|Espaços localmente compactos]]
  * [[topologia:dem:demomarciapropems|Todo espaço métrico separável satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade]]