=== Contrátil ===
Seja $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma função constante. Considere a função $H:[0,1]^{\mathbb{N}}\times[0,1]\rightarrow[0,1]^{\mathbb{N}}$ dada por $H((x_n)_n,t)=((1-t)x_n+tc_n)_n$. 

Como $[0,1]$ é convexo, $(1-t)x_n+tc_n\in[0,1]$ para todo $n$, donde $((1-t)x_n+tc_n)_n\in[0,1]^{\mathbb{N}}$, então $H$ está bem definida. Ademais, cada coordenada de $H$ é [[topologia:funcao|contínua]]. Note que $H((x_n)_n,0)=(x_n)_n$ e $H((x_n)_n,1)=(c_n)_n$.
Logo $H$ é [[topologia:basicresults|homotopia]] entre $Id_{[0,1]^{\mathbb{N}}}$ e $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

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=== Metrizável e completamente metrizável ===
Basta considerar a métrica completa
$$\tilde{d}((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{d(x_n,y_n)}{2^{n+1}},$$
em que $d(x,y)$ é a métrica completa usual sobre $[0,1]$.

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=== Baire ===
Segue de ser [[topologia:espacohausdorff|espaço de Hausdorff]] [[topologia:defcompacto|compacto]]. <wrap help>[[topologia:dem:comphausehbaire|Demo]].</wrap>

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=== Zero-dimensional ===
Basta notar que $[0,1]^{\mathbb{N}}$ não pode admitir [[topologia:bases|base]] de abertos fechados porque, sendo conexo, tem apenas $\emptyset$ e $[0,1]^{\mathbb{N}}$ como abertos fechados.