=== Subespaço compacto de um espaço compacto que não é fechado ===

Seja $X$ um conjunto infinito com a topologia cofinita. Isto é, os abertos em $X$ são seus subconjuntos cujo complementar é finito, além do vazio. Dada uma cobertura de $X$ por abertos, digamos $\mathcal{A}$, então fixado $ \emptyset \neq A_0 \in \mathcal{A}$ temos que $X-A_0$ é finito, pois $A_0$ é aberto. Escrevendo $X-A_0=\lbrace x_1,...,x_n \rbrace$, então existem $A_1,...,A_n \in \mathcal{A}$, tais que $x_i \in A_i$, para todo $i=1,...,n$. Assim, $X=A_0 \cup A_1 \cup ... \cup A_n$, isto é, $\mathcal{A}$ admite subcobertura finita e $X$ é compacto. Analogamente, verifica-se que quaisquer subespaço de $X$ é compacto. Entretanto, os subconjuntos fechados de $X$ são os complementares de abertos, ou seja, são os subconjuntos finitos de $X$. Logo, quaisquer subconjunto próprio infinito de $X$ é um subespaço compacto que não é fechado.