==== Espaço $T_1$ ====

{{ :topologia:diagram-20210421.png?300|}}

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=== Definição ===
Um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]] $(X, \tau)$ é chamado de $T_1$ se, para quaisquer $x,y \in X$ distintos, existe um aberto $A$ tal que $x \in A$ e $y \notin A$.
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Na figura ao lado, se $(X,\tau)$ for $T_1$, os dois abertos $A$ e $B$ devem existir. Essa propriedade é mais "forte" do que a dos [[topologia:espacot0|espaços $T_0$]], pois estes exigem que pelo menos um desses abertos existam. Deste modo, é fácil ver que se um espaço é $T_1$, então ele é $T_0$. A proposição a seguir é uma forma de caracterizar os espaços $T_1$.

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=== Proposição ===

Um espaço topológico $(X,\tau)$ é $T_1$ se, e somente se, para todo $x \in X$, o conjunto $\{ x \}$ é fechado.

[[.:dem:demot1|Demonstração]]
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=== Exemplos ===

  * Um conjunto $X$, munido da topologia $\tau = \{ A \subset X, X\backslash A ~~ \text{é finito} \}$, é $T_1$. De fato, para qualquer $x \in X$, o conjunto $\{x\} = X \backslash (X\backslash \{ x \})$ é finito, logo, $X\backslash \{ x \}$ é aberto e consequentemente $\{ x \}$ é fechado. Deste modo, a proposição acima garante que $(X,\tau)$ é $T_1$.
  * Todo espaço topológico $(X,\tau)$ com topologia induzida por uma métrica $d$ é $T_1$. Com efeito, dados $x, y \in X$ distintos, a bola aberta $B = B(x, d(x,y))$ é um aberto tal que $x \in B$ e $y \notin B$.

=== Veja também ===

  *   [[topologia:espacot0|Espaço $T_0$]]
  *   [[topologia:espacohausdorff|Espaço de Hausdorff]]
  *   [[topologia:espacoregular|Espaço regular]]
  *   [[topologia:espaconormal|Espaço normal]]

=== Exemplos ===

== Espaços que satisfazem tal axioma ==
---- struct table ----
schema   : axiomaSeparacao
cols     : %title%
filter   : t1 = sim
max      : 10
----

== Espaços que não satisfazem tal axioma ==
---- struct table ----
schema   : axiomaSeparacao
cols     : %title%
filter   : t1 = não
max      : 10
----