===== Espaços topológicos =====

==== Definição e exemplos básicos ====

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=== Definição: Espaço Métrico ===

Seja $X$ um conjunto. Dizemos que $(X, d)$ é um **espaço métrico** se $d: X \times X \to \mathbb R$ é uma função que satisfaz, para todo $x, y, z \in X$:
  * $d(x, y) \geq 0$;
  * $d(x, y) = 0$ se, e somente se, $x = y$;
  * $d(x, y) = d(y, x)$;
  * $d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$.

Nesse caso, dizemos que $d$ é uma **métrica** sobre $X$.
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  * Mostre que $d(x, y) = |x - y|$ é uma métrica sobre $\mathbb R$. Essa é a métrica usual sobre $\mathbb R$.

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=== Definição: Espaço Topológico ===

Seja $X$ um conjunto. Dizemos que $(X, \tau)$ é um **espaço topológico** se $\tau$ é uma família de subconjuntos de $X$ satisfazendo:
  * $\emptyset, X \in \tau$;
  * se $A, B \in \tau$, $A \cap B \in \tau$;
  * se $C_i \in \tau$ para cada $i \in I$, então $\bigcup_{i \in I} C_i \in \tau$.
Nesse caso dizemos que $\tau$ é uma **topologia** sobre $X$ e que cada $C \in \tau$ é um **aberto**.
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  * Mostre que, dado $X$, $\{\emptyset, X\}$ é uma topologia sobre $X$. Essa topologia é chamada de **caótica**.
  * Mostre que, dado $X$, $\wp(X)$ (isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de $X$) é uma topologia sobre $X$. Essa topologia é chamada de **discreta**.
  * Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dizemos que um conjunto $A \subset X$ é **folgado** se, para todo $a \in A$ existe $r > 0$ tal que $B_r(a) \subset A$, onde $B_r(a) = \{b \in X: d(a, b) < r$ (tal conjunto é chamado de **bola aberta de centro $a$ e raio $r$**). Mostre que $\tau = \{A \subset X: A$ é folgado$\}$ é uma topologia sobre $X$. Tal topologia é chamada de **topologia induzida pela métrica $d$**. 
  * Considere $\mathbb R$ e $\tau = \{A \subset \mathbb R: \forall x \in A \ \exists r > 0 \ [a, a + r[ \subset A\}$. Mostre que $\tau$ é uma topologia sobre $\mathbb R$. Com tal topologia chamamos o espaço de **reta de Sorgenfrey**.

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=== Definição: Vizinhança ===

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dado $x \in X$, dizemos que $V \subset X$ é uma **vizinhança** de $x$ se existe $A$ aberto tal que $x \in A \subset V$.

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  * Mostre que todo aberto usual nos reais é um aberto na reta de Sorgenfrey.
  * Seja $X$ conjunto não vazio e seja $\sigma$ uma topologia sobre $X$. Mostre que $\sigma$ é a topologia discreta se, e somente se, $\{x\} \in \sigma$ para todo $\sigma$.
  * Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Seja $Y \subset X$ e considere $\sigma = \{A \cap Y : A \in \tau \}$. 
        * Mostre que $\sigma$ é uma topologia sobre $Y$ (esta é conhecida como **topologia de subespaço**. Em geral, em uma situação $Y \subset X$, se nada for dito, estamos supondo em $Y$ esta topologia). 
        * Considere ainda $[0,1]$ com a topologia de subespaço de $\mathbb R$. Mostre que $[0,\frac{1}{2}[$ é aberto em $[0,1]$ mas não é aberto em $\mathbb R$.
  * Seja $X$ um conjunto qualquer e considere $\tau = \{A \subset X : X \backslash A \textrm{ é finito} \} \cup \{ \emptyset \}$. 
        * Mostre que $\tau$ é uma topologia (essa topologia é chamada de **topologia cofinita**). 
        * Mostre ainda que $\tau$ é a topologia discreta se, e somente se, $X$ é finito.
  * Fixe $X$ um conjunto infinito. Considere $\tau = \{A \subset X : A \textrm{ é infinito} \} \cup \{ \emptyset \}$. Note que $\tau$ não é uma topologia e compare com a definição de topologia cofinita.
  * Mostre que um conjunto $A$ é aberto se, e somente se, para todo $a \in A$, $A$ é vizinhança de $a$.