===== Espaço Regular =====
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Seja $(X,\tau)$ um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]]. Diremos que $(X,\tau)$ é $T_3$ se, para quaisquer $x\in X$ e $F\subset X$ fechado, com $x\notin F$, existirem abertos $A$ e $B$ tais que $x\in A$, $F\subset B$ e $A\cap B = \emptyset$. Se, além de ser $T_3$, $(X,\tau)$ for [[topologia:espacot1|$T_1$]], diremos que $(X,\tau)$ é **espaço regular**((Na literatura, não há consenso sobre o uso dos termos **$T_3$** e **regular**. Em alguns lugares, dizer que $(X,\tau)$ satisfaz o axioma $T_3$ significa que $X$ é $T_1$ e regular.)).
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{{ :playground:regular.png?230 |}}

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Ao mudar a perspectiva, do fechado que não contém $x$ para o aberto que o contém, a definição pode ser feita como: Dados $x\in X$ e $V\subset X$ aberto tais que $x\in V$, existe uma vizinhança $A$ de $x$ e um aberto $B$ tais que $A\cap B =\emptyset$ e $V\cup B=X$. 
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=== Proposição === 
$(X,\tau)$ é $T_3$ se, e somente se, para todo $x\in X$ e para todo aberto $V$ tais que $x\in X$, existe um aberto $A$  tal que $x\in A\subset \overline{A}\subset V$ 

{{:topologia:prop.png?250|}}

[[.:dem:demoprop|Demonstração]]

=== Corolário === 
$(X,\tau)$ é $T_3$ se, e somente se, todo $x\in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$.

[[.:dem:democorol|Demonstração]]

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Todo subespaço de espaço regular é regular.
[[.:dem:subderegularehregular|Demonstração]]
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==== Exemplos ====
=== Métrico ===
$\mathbb{R}$ é regular. Basta ver que $\{[x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}]:n\in \mathbb{N}_{>0}\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x\in \mathbb{R}$.

=== Não métrico ===
A [[topologia:exemplo:retadesorgenfrey|Reta de Sorgenfrey]] é regular.

=== Exemplos ===

== Espaços que satisfazem tal axioma ==
---- struct table ----
schema   : axiomaSeparacao
cols     : %title%
filter   : t1 = sim
filter   : t3 = sim
max      : 10
----

== Espaços que não satisfazem tal axioma ==
---- struct table ----
schema   : axiomaSeparacao
cols     : %title%
filter   : t3 = não
max      : 10
----

===Veja Também===
Todo espaço regular enumerável é zero-dimensional. [[topologia:regenum_zero-dim|Demonstração]]