==== Espaço de recobrimento ====
Afim de se determinar grupos fundamentais a partir de uma nova técnica, apresentaremos algumas novas estruturas:
=== Definição (Levantamento)===
Considere $(X,\tau)$, $(\tilde{X},\rho)$, $(Y,\sigma)$ [[topologia:espacotopologico|espaços topológicos]] e $p: \tilde{X} \rightarrow X$ uma [[topologia:funcao|função contínua]].
Sejam $f: Y \rightarrow X$ e $g: Y \rightarrow \tilde{X}$ funções contínuas.
A função $g$ é dita ser um **levantamento** para $f$ se $f = p\circ g$. Isto é, $g$ é tal que o diagrama abaixo comuta.{{ :topologia:aaaaaaaaa.png?200 |}}
===Exemplo===
Tome $X=S^1=\lbrace (x,y): x^2 + y^2 =1 \rbrace$, $\tilde{X}=\mathbb{R}$, $Y=[0,1]$. Tome $p$ tal que $p(t)= (cos(2\pi t), sin(2\pi t))$.
Defina, para cada $z \in \mathbb{Z}$, $f_z: [0,1] \rightarrow S^1$ tal que $f_z(t) = (cos(2\pi zt), sin(2\pi zt))$.
Assim, note que $g_z: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $g_z(t)= zt$ é um levantamento para $f_z$, ou seja, $f_z = p \circ g_z$.
===Definição (Espaço de recobrimento)===
Seja $(X,\tau)$ um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]].
Um **espaço de recobrimento** é um espaço topológico $(\tilde{X},\rho)$ e uma função $p:\tilde{X} \rightarrow X$ tais que:
* $\forall$ $x \in X$, $\exists$ $A$ aberto tal que $x \in A$;
* $p^{-1}[A]$ $=$ \(\underset{i \in I}{\bigcup}A_i\), onde cada $A_i$ é um aberto e $A_i \cap A_j = \emptyset $ para $i \neq j$;
* $p_i$ $:=$ $p \upharpoonright A_i$ é um [[topologia:homeo|homeomorfismo]].
Afim de exemplificar a situação acima, diz-se simplesmente que $p:\tilde{X} \rightarrow X$ é um espaço de recobrimento
===Proposição===
Seja $p:\tilde{X} \rightarrow X$ um espaço de recobrimento e $\varphi: Y \rightarrow X$ uma função contínua.
Sejam $f, g: Y \rightarrow \tilde{X}$ levantamentos para $\varphi$. Então $D=\{y \in Y : f(y) = g(y)\}$ é um aberto.
[[dem:propp|Demonstração]]
===Corolário===
Seja $p: \tilde{X} \rightarrow X$ um espaço de recobrimento em que $X$ é [[topologia:espacoHausdorff|Hausdorff]].
Seja $\varphi : Y \rightarrow X$ uma função contínua em que $Y$ é um espaço [[topologia:conexidadeintervalos| conexo]].
Se $f, g$ são dois levantamentos para $\varphi$ tais que $\exists$ $y \in Y$ tal que $f(y) = g(y)$, então $f = g$.
[[dem:corolário|Demonstração]]