====== Espaço de recobrimento ======

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=== Definição: Levantamento de função  ===
Sejam $(X,\tau)$, $(X_L,\rho)$, $(Y,\sigma)$ espaços topológicos. Dadas \(f: Y \rightarrow X\) e \(p: X_L \rightarrow X\) funções contínuas, chamamos de **levantamento** de $f$ uma função  \(g: Y \rightarrow X_L\) contínua e tal que \( p\circ g = f\).
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  *Seja $S^1={\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\}}$.
  *Dado $z \in \mathbb{Z}$, defina $\omega_z: [0,1] \rightarrow S^1$ por $\omega_z(t)=(cos(2\pi zt), sen(2\pi zt)) $.
  *Encontre um levantamento para $\omega_z$ com relação a função $p: \mathbb{R} \rightarrow S^1$ dada por $p(t)=(cos(2\pi t), sen(2\pi t)) $.

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=== Definição: Espaço de recobrimento  ===
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Um **espaço de recobrimento** para $(X,\tau)$ é um espaço topológico $(X_L,\rho)$, juntamente com uma função contínua \(p: X_L \rightarrow X\) tais que $\forall \, x \in X \, \, \exists \, A \in \tau, x \, \in \, A$  tal que $p^{-1}[A]=\bigcup_{i \in I} A_i$ onde $A_i\in \rho \, \, \forall \, i\in I, A_i\cap A_j=\emptyset$ se $i \neq j$ e $p\vert_{A_i}$ é um homeomorfismo $\forall i\in I$. 
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=== Proposição ===
Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$. Seja \(\phi: Y \rightarrow X\) uma função contínua. Dados dois levantamentos \(f,g: Y \rightarrow X^1\) para $\phi$, temos que \(G={\{y \in Y:f(y)=g(y)\}}\) é aberto.
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//Demonstração://
  *Tome $y \in G$ e $A$ aberto da definição de espaço de recobrimento com $\phi(y)\in A$. Tome $A_i$ aberto homeomorfo a $A$ com $f(y)=g(y)\in A_i$.
  *Utilize da continuidade de $f$ e $g$ para encontrar abertos $V$ e $W$, ambos contendo $y$ e com uma propriedade natural.
  *Observe que $p[f(y)]=\phi(y)=p[g(y)] \, \forall \, y \in Y$ e mostre que $V \cap W \subset G$.

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=== Corolário ===
Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ onde $X$ é Hausdorff. Seja $Y$ conexo e \(\phi: Y \rightarrow X\) uma função contínua. Dados dois levantamentos \(f,g: Y \rightarrow X^1\) para $\phi$. Se existe $y \in Y$ tal que $f(y)=g(y)$ então $f=g$.
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//Demonstração://
  *Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$. Mostre que se $X$ é Hausdorff, então $X_L$ também é.
  *Mostre que a diagonal \(D={\{(x,y) \in X\times X:x=y\}}\) é um conjunto fechado se $X$ for Hausdorff.
  *Utilize que $Y$ é conexo e conclua o resultado.

==== Levantando homotopias ====

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=== Lema ===
Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e \(f: Y \rightarrow X\) uma função contínua. Dados $C$ conexo de $Y$ com $f[C] \subset A$, onde $A$ é um aberto da definição de espaço de recobrimento e \(g: Y \rightarrow X_L\) um levantamento para $f$, temos que existe $i \in I$ tal que $g[C] \subset A_i$.
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//Demonstração://
  *$g[C]$ é conexo e $g[C] \subset \bigcup_{i \in I} A_i$.
  *Notar que $A_i\cap A_j=\emptyset$ se $i \neq j$ e concluir o resultado.

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=== Lema ===
Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e \(f: Y \rightarrow X\) uma função contínua. Seja \(f_V: V \rightarrow X_L\) levantamento para $f\vert_V$, $V$ aberto. Se $W$ é aberto tal que $f[W]\subset A$ para algum $A$ da definição de espaço de recobrimento e $V\cap W$ é conexo não vazio, então $f_V$ pode ser estendida a um levantamento de $f\vert_{V\cup W}$.
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//Demonstração://
  *Dado $y_0\in V\cap W$, note que existe $A_i$ tal que $f_V(y_0)\in A_i$.
  *Defina $f_W: W \rightarrow X_L$ como $p_i^{-1}\circ f$.
  *Conclua do lema anterior que $f_V[V\cap W]\subset A_i$ e que então $f_V$ e $f_W$ coincidem em $V\cap W$.
  *Mostre que $g: V\cup W \rightarrow X_L$ dada por:

$$g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f_V\left(x\right), & \text { se } x\in V \\
f_W\left(x\right), & \text { se } x\in W
\end{array}\right.$$
 
   é levantamento de $f\vert_{V\cup W}$.
   
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=== Proposição ===
Sejam $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e \(f: [0,1]\times [0,1] \rightarrow X\) uma função contínua. Dado $y_0 \in [0,1]\times [0,1]$ e fixado $x_0 \in X_L$ tais que $p(x_0)=f(y_0)$, existe um único levantamento \(g: [0,1]\times [0,1] \rightarrow X_L\) tal que $g(y_0)=x_0$.
</WRAP>

//Demonstração://
  *Utilize da definição de espaço de recobrimento para construir uma cobertura aberta $\zeta$ para $[0,1]\times [0,1]$ via imagem inversa de $f$ com a propriedade de que dado $C\in \zeta$ exista $A_C$ um aberto da definição de espaço de recobrimento tal que $f[C]\subset A_C$.
  *Tome um número de Lebesgue para $\zeta$.
  *Cubra $[0,1]\times [0,1]$ por $n$ quadrados $Q_1,\cdots ,Q_n$ com $y_0 \in Q_1$, $f[Q_1]\subset A$ para algum $A$ da definição de espaço de recobrimento e de forma que 

$$(\bigcup_{i \leq j} Q_i)\cap Q_{j+1}$$

seja não vazio e conexo.
   *Tome $A_i$ aberto homeomorfo a $A$ com $x_0\in A_i$ e exiba $g_1$ um levantamento para $f$ em $Q_1$.
   *Estenda  $g_i$ a um levantamento $g_{i+1}:Q_1\cup\cdots \cup Q_{i+1} \rightarrow X_L$, $i=1,\cdots,n-1$.
   *Note que $g_n$ é o levantamento desejado e que ele é único.

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=== Proposição ===
Sejam $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e \(f: [0,1]\rightarrow X\) uma função contínua. Dado $y_0 \in [0,1]$ e fixado $x_0 \in X_L$ tais que $p(x_0)=f(y_0)$, existe um único levantamento \(g: [0,1]\rightarrow X_L\) tal que $g(y_0)=x_0$.
</WRAP>

//Demonstração://
  *Análoga a demonstração da proposição anterior.

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=== Teorema ===
Sejam $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e \(H: [0,1]\times [0,1]\rightarrow X\) uma homotopia entre os caminhos $H(\cdotp , 0)$ e $H(\cdotp , 1)$. Dado $y_0 \in [0,1]\times [0,1]$ e fixado $x_0 \in X_L$ tais que $p(x_0)=H(y_0)$, existe um único levantamento \(H_L: [0,1]\times [0,1]\rightarrow X_L\) tal que $H_L(y_0)=x_0$. Além disso, $H_L$ é uma homotopia entre os caminhos $H_L(\cdotp , 0)$ e $H_L(\cdotp , 1)$.
</WRAP>

//Demonstração://
  *Existência e unicidade seguem dos resultados anteriores.
  *Note que $H( 0,\cdotp )$ é constante. Tome um aberto $A$ da definição de espaço de recobrimento tal que $H( 0, 0)\in A$.
  *$H_L(\{ 0\} \times [0,1] )$ está contido num único $A_i$.
  *$p(H_L(\{ 0\} \times [0,1] ))=H( 0,\cdotp )=H( 0,0)$ é constante.
  *$H_L(\{ 0\} \times [0,1] ))=H_L( 0,\cdotp )=p\vert_{A_i}^{-1}(H(0,0))$ é constante.
  *De maneira análoga conclua que $H_L( 1,\cdotp )$ é constante e que então $H_L$ é uma homotopia entre os caminhos $H_L(\cdotp , 0)$ e $H_L(\cdotp , 1)$.

==== Grupo fundamental de $S^1$  ====

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=== Teorema ===
$\pi_1(S^1,(1,0))$ é isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$.
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//Demonstração://
  *Considere \(p: \mathbb{R} \rightarrow {S^1}\) dada por $p(t)=(cos(2\pi t), sen(2\pi t)) $, \(\omega_z: [0,1] \rightarrow {S^1}\), $\omega_z(t)=(cos(2\pi zt), sen(2\pi zt)) $ e \(\omega_z^L: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\), $\omega_z^L(t)=zt$ um levantamento de $\omega_z$.
  *Note que $\omega_{a+b}\simeq \omega_a * \omega_b$.
  *Seja $f: [0,1] \rightarrow S^1$ um laço em $x_0=(1,0)$.
  *Tome $f_L: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ levantamento para $f$ com $f_L(0)=0$.
  *Note que $p^{-1}[(1,0)]=\mathbb{Z}$ e que então $f_L(1)=z \in \mathbb{Z}$.
  *Construa uma homotopia entre $f_L$ e $\omega_z^L$.
  *Aplique $p$ a esta homotopia e conclua que $[f]=[\omega_z]$.
  *Suponha $[f]=[\omega_z]=[\omega_s]$. Tome $F$ homotopia entre $\omega_z$ e $\omega_s$ e $F_L$ levantamento de $F$ com $F_L(\cdotp, 0)=\omega_z^L$, $F_L(\cdotp, 1)=\omega_s^L$.
  *Note que $F_L(1, \cdotp)$ é constante e conclua que $z=s$.
  *Defina $\phi: \pi_1(S^1,(1,0))\rightarrow \mathbb{Z}$ por $\phi(f)=z$, onde $z$ é tal que $[f]=[\omega_z]$ e conclua o resultado.