====$\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ é de Baire mas não é localmente compacto nem completamente metrizavél====
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De fato, veja que [[topologia:exemplo:sorgenfreyloccompacto|$\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ não é localmente compacto]] e [[topologia:exemplo:sorgenfreymetrizavel|$\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ não é metrizável]] (logo não pode ser completamente metrizável).
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Mostremos que $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ é de Baire. 
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Note que se $A$ é aberto denso em $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$, podemos escrever $A=\bigcup_{i \in I}[a_i,b_i[$ . Considere então o aberto $A'=\bigcup_{i \in I}\ ]a_i,b_i[\ \subset A$, dados $a<b$, temos $]a,b[\ \subset \ \mathbb{R}$ é aberto em $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ e, pela densidade de $A$ em $\mathbb{R}_{S}$, segue que $]a,b[\ \cap A \ \neq \emptyset$ . Dado $i \in I$ tal que $]a,b[\ \cap \ [a_i,b_i[\ \neq  \emptyset$, temos $]a,b[\ \cap]a_i,b_i[\ \neq \emptyset$ e segue que $]a,b[\ \cap A'\ \neq \emptyset$ . Portanto, todo aberto denso da reta de Sorgenfrey contém um aberto denso em $\mathbb{R}$ . Logo, seja $(A'_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $\forall n \ A'_n\ \subset \ A_n$ com $A'_n$ aberto denso em $\mathbb{R}$. Como $\mathbb{R}$ é [[topologia:metcompleto| métrico completo]], $\mathbb{R}$ é de Baire e temos $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \ A'_n$ é denso em $\mathbb{R}$ e portanto denso em $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$. Como $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \ A'\ \subset \ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \ A$, $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ é de Baire. $\square$