** A componente conexa por caminhos de um ponto é sempre aberta. **

\\ $(X,\tau)$ é um espaço topológico com a propriedade que todo ponto em $X$ tem uma vizinhança aberta que é uma componente conexa por caminhos.

Sejam $x \in X$ e $C$ componente conexa de $x, y \in C$. Existe uma vizinhança aberta $V$ de $y$ que é um caminho conexo. Logo, $C \cup V$ é um caminho conexo. Então $C \cup V \subset C$ e assim, $V \subset C$.

Como para cada $y \in C$, $C$ contém uma vizinhança aberta de $y$, então $C$ é aberto.