=== A componente conexa por caminhos de um ponto é sempre fechada? ===

\\ A resposta é não.

\\ Para ver isso, considere o conjunto $X \subset \mathbb{R}^2$ dado por $X= \{]x,0[, 0 \leq x \leq 1\} \cup \{]\frac{1}{n},y[, 0 \leq y \leq 1\} \cup \{a\}$, onde $a=(0,\frac{1}{2}) \in \mathbb{R}^2$. Temos, então o conjunto



\\ {{ :topologia:dem:pente_conexo_por_caminhos.png?270 |}}


\\ $X$\ $\{a\}$ é uma componente conexa por caminhos, pois quaisquer dois pontos de $X$\ $\{a\}$ podem ser ligados por um caminho poligonal que tem três segmentos de reta, no máximo. Além disso, $\{a\}$ também é uma componente conexa por caminhos. Se $X$\ $\{a\}$ fosse fechado, $\{a\}$ seria aberto. Absurdo!