** Fixado $x$, o conjunto $\{y:$ existe um caminho de $x$ para $y\}$ é exatamente o conjunto dos $y$'s equivalentes a $x$ por ~. Chamamos tal conjunto de componente conexa por caminhos de $x$. **


Fixe $x=x_0$. Para cada $y \in X$, existe $f_{x_0y}:[0,1] \longrightarrow X$ com $f_{x_0y}(0)=x_0$ e $f_{x_0y}(1)=y$.

Seja $C \subset X$ um conjunto conexo por caminhos quando $C$ é conexo por caminhos como subespaço, [[topologia:dem:invariantetop| pela Proposição 1]].

\\ Defina $C_y:=f_{x_0y}([0,1])$ para cada $y \in X$. Também $y \in C_y$, pois $f_{x_0y}(1)=y$, então $X=\cup_{y \in X} C_y$ e $x_0 \in C_y$ para todo $y \in X$. Logo, $X$ é a união de conexos por caminhos.