$(\Rightarrow)$ Dado $x \in X$, para provar que $\{ x\}$ é fechado, basta provar que $\overline{\{x\}} \subset \{x\}$. Dado $y \neq x$, como $(X,\tau)$ é $T_1$, deve existir um aberto $A$ tal que $y\in A$ e $x\notin A$, portanto, $A \cap \{x\} = \varnothing$. Em outras palavras, acabamos de provar que $y$ não é um ponto de aderência do conjunto $\{x\}$, ou seja, $y \notin \overline{\{x\}}$.

$(\Leftarrow)$ Reciprocamente, dados $x,y \in X$ distintos, temos que o conjunto $X \backslash \{x\}$ é aberto, pois $\{x\}$ é fechado. Podemos facilmente ver que $y \in X \backslash \{x\}$ e $x \notin X \backslash \{x\}$, satisfazendo o axioma $T_1$.