** Se $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$ e $K$ é uma compatificação de $\mathbb{Q}$, mas $K$ não é homeomorfo a $\beta \mathbb{Q}$. **

\\ Considere para todo $x \in \mathbb{Q}$, $f$ dada por:

\begin{equation}
   f(x) = \begin{cases}
      0 \text{, se } x< \pi\\
      1 \text{, se } x> \pi
   \end{cases}
\end{equation}

Uma função que vai de $\mathbb{Q}$ para $\mathbb{Q}$ com a topologia usual dos racionais é contínua, pois, para todo $x \in \mathbb{Q}$, podemos tomar $\varepsilon >0$ pequeno suficiente tal que $\pi \notin (x-\varepsilon,x+\varepsilon)$. Então $f$ é constante nesse intervalo. Mas ela não tem extensão contínua para todo $\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}$.

\\ Portanto, $K$ não é homeomorfo a $\beta \mathbb{Q}$.

\\ Ver também:

 * [[topologia:ext.cont.|Extensões contínuas: introdução]]

 * [[topologia:ExtcontI|Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte I)]]

 * [[topologia:ExtcontII|Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte II)]]