** Se $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$, então $K$ é uma compatificação de $\mathbb{Q}$. **


\\ Seja $F$ compacto infinito de Hausdorff tal que $F \subset K=\overline{\mathbb{Q}}$. Podemos construir uma sequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ em $F$ e uma sequência $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de abertos disjuntos dois a dois com $a_n \in V_n \cap F$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Segue que o conjunto $A:=\cup_{n \in \mathbb{N}} \{a_n\}$ é homeomorfo a $\mathbb{Q}$, pois $A$ e $\mathbb{Q}$ são discretos enumeráveis. Considere $g:A \longrightarrow [0,1]$ contínua por $\mathbb{Q}$ ser discreto. 

Queremos mostrar que $\overline{A}$ é uma compactificação de $A$. Se $A$ é homeomorfo aos racionais, então $\overline{A}$ também é. Se mostrarmos que qualquer função $g$ pode ser estendida para $\overline{A}$, na verdade, essa compactificação de $A$ admite a propriedade da extensão de funções contínuas. Assim, $\overline{A}$ é homeomorfo à $K=\overline{\mathbb{Q}}$.

\\ Seja $G:\mathbb{Q} \longrightarrow [0,1]$ dada por:

\begin{equation}
   G(n) := \begin{cases}
      g(a_k) \text{, se } n \in V_k \cap \mathbb{Q}\\
      0 \text{, caso contrário}
   \end{cases}
\end{equation}

\\ Como $\mathbb{Q}$ é discreto, daí, $G$ é contínua. Dessa forma, pela propriedade da Compacticação Stone-Čech, $G$ admite uma extensão $\tilde{G}: K \longrightarrow [0,1]$. Vamos ver que a extensão de $G$, $\tilde{G}|_{\overline{A}}$ também é uma extensão de $g$. 

\\ Dado $a_k \in A$, temos: $\tilde{G}(a_k) \in \tilde{G}(V_k) \subset \tilde{G}(\overline{V_k})=\tilde{G}(\overline{V_k \cap \mathbb{Q}}) \subset \overline{\tilde{G}(V_k \cap \mathbb{Q})}=\{(g(a_k)\}$. Portanto, $\tilde{G}(a_k)=g(a_k)$ para todo $a_k \in A$. Logo, $\tilde{G}$ é uma extensão contínua para $g$ para $K$ todo, em particular, para $\overline{A}$. Logo, como $\overline{A}$ é compacto, temos que $\overline{A}$ é homeomorfo a $K$. 

\\ Portanto $K$ é uma compactificação de $\mathbb{Q}$.

\\ Ver também:

 * [[topologia:ext.cont.|Extensões contínuas: introdução]]

 * [[topologia:ExtcontI|Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte I)]]

 * [[topologia:ExtcontII|Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte II)]]