=== Se $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ são separáveis, então $X \times Y$ também é separável. ===

\\ Suponha que $X$ e $Y$ sejam separáveis. Sejam $P \subset X$ e $Q \subset Y$ conjuntos [[topologia:densos|densos]] enumeráveis.

Vamos provar que $P \times Q$ e um conjunto denso enumerável de $X \times Y$.

Seja $U$ um aberto em $X \times Y$. A projeção de $U$ em $X$ é aberto em $X$ e intersecta $P$, assim como a projeção de $U$ em $Y$ intersecta $Q$. Dessa forma, $(P \times Q) \cap U \neq \emptyset$.

Quanto a ser enumerável, temos que o produto de conjuntos enumeráveis é enumerável.

Portanto, $X \times Y$ é separável.