=== Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços que satisfazem o segundo axioma de enumerabilidade que trata de bases enumeráveis. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também satisfaz esse mesmo axioma. ===

\\ Se cada $X_n$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, tome uma [[topologia:basesenumeraveis|base enumerável]] $\mathcal{B}_n$ de $X_n$ para cada $n \in \mathbb{N}$. Então defina: 

$$\mathcal{B}=\{ \prod_{n \in \mathbb{N}} {B_n} : B_n \in \mathcal{B}_n, \{ m \in \mathbb{N} : B_m \neq X_m \} é finito \},$$ 
onde $\{ m \in \mathbb{N} : B_m \neq X_m \}$ é o suporte finito. A coleção de conjuntos dessa forma é enumerável, pois a quantidade de suportes finitos   é enumerável e fixando um deles apenas existe uma quantidade enumerável de possibilidades de abertos. 


Agora queremos mostrar que $\mathcal{B}$ é base. Considere $A=\prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$ aberto básico tal que $x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \prod_{n\in \mathbb{N}} X_n$ onde $x \in A$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, temos dois casos a considerar $A_n \neq X_n$ e $A_n=X_n$.

\\   * $A_n \neq X_n$: nesse caso, como $\mathcal{B}_n$ é base para $X_n$, existe $B_n \in \mathcal{B}_n$ de tal modo que $x_n \in B_n \subset A_n$. 
\\   * $A_n=X_n$, defina $B_n = X_n$ e temos que $\mathcal{B}_n \subset A_n$. 

\\ Assim, $x \in \prod_{n \in \mathbb{N}} B_n \subset \prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$, logo, $\mathcal{B}$ é uma base. Portanto $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.