=== Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços que satisfazem o primeiro axioma de enumerabilidade que trata de bases locais enumeráveis. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também satisfaz esse mesmo axioma. ===

\\ Seja $x=(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$. Em cada ponto de $x_n$ temos [[topologia:baselocalenumeravel|uma base local enumerável]] e vamos exibir uma base do mesmo tipo para o produto. Para cada $n \in \mathbb{N}$, seja $\mathcal{V}_n$ base local enumerável para $x_n$ supondo $X_n \in \mathcal{V}_n$. Daí, uma base local para $X_n$ são os conjuntos da forma:

$$\{ \prod_{n \in \mathbb{N}} {V_n} : V_n \in \mathcal{V}_n, \{ m \in \mathbb{N} : V_m \neq X_m \} é finito \},$$ 
onde $\{ m \in \mathbb{N} : V_m \neq X_m \}$ é o suporte finito. A coleção de conjuntos dessa forma é enumerável, pois a quantidade de suportes finitos  é enumerável e fixando um deles apenas existe uma quantidade enumerável de possibilidades de abertos. 


Agora queremos mostrar que é base. Considere $A=\prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$ aberto básico tal que $x \in A$. Para cada $n \in \mathbb{N}$ tal que:

\\   * $A_n \neq X_n$: seja $V_n \in \mathcal{V}_n$ de forma que $x_n \in V_n \subset A_n$. 
\\   * $A_n=X_n$: defina $V_n = X_n$. 

\\ Assim, $x \in \prod_{n \in \mathbb{N}} V_n \subset \prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$ e portanto $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.