=== Plano de Niemytski ===


\\ Considere $P=\{(x,y): x, y \in \mathbb{R}, y \geq 0\}$ com a topologia de forma que:

\\ **(a)** se $(x,y)$ é tal que $y>0$, então uma vizinhança básica de $(x,y)$ é da forma de uma bola aberta centrada em $(x,y)$ que não intercepta o eixo $x$, isto é, $B_{\varepsilon}((x,y))$ com $0< \varepsilon<y$.

\\ **(b)** Para os pontos da forma $(x,0)$, uma vizinhança de tal ponto é da forma de uma bola aberta contida em $\{(a,b):b>0\}$ e que tangencie o eixo $x$ no ponto $(x,0)$ (inclua o ponto em tal vizinhança). Ou seja, $B_y((x,y)) \cup \{(x,0)\}$ onde $B_y((x,y))$ é a bola com a métrica usual do $\mathbb{R}^2$.

\\ Seja $(P,\tau)$ o plano de Niemytski, onde $\tau$ é a topologia definida acima.

\\  1 - Vamos mostrar que tal espaço é separável.

\\ Considere $D=\{(x,y) \in \mathbb{Q}:y \geq 0\}$, $D \subset P$. $D$ é denso ($\mathbb{\overline {Q}}=\mathbb{R}$) e enumerável. Então $P$ é separável.

\\  2 - Agora vamos mostrar que $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ é discreto e não enumerável, portanto não é separável. 

\\ Sejam $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ e $X=B_y(x,y)$. Considere a topologia do subespaço $\pi=\{A \cap X:X \in \tau\}$. 

Temos dois casos:   

  * se $X=B_y(x,y),y \neq 0$, então $A \cap X = \emptyset$;  
  * se $X=B_y(x,y) \cup \{(x,0)\}$, então $A \cap X=\{x\}$. 


\\ Ou seja, $\pi$ é uma topologia discreta. Como $x \in \mathbb{R}$ é não enumerável, então $X$ não é separável.