=== Todo subespaço de um espaço que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade também satisfaz esse mesmo axioma. ===

\\ Seja $\mathcal{B}= \{B_n:n \in \mathbb{N}\}$ uma base enumerável para $X$. Seja $Y$ um subespaço de $X$. 

Pela primeira proposição, $\mathcal{B}'=\{Y \cap B_n: n \in \mathbb{N}\}$ é uma base enumerável para $Y$.

Assim, $Y$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.