=== $(X,\tau)$ é $T_3$ se, e somente se, para todo $x\in X$ e para todo aberto $V$ tais que $x\in X$, existe um aberto $A$  tal que $x\in A\subset \overline{A}\subset V$ ===
=== ($\Rightarrow$) ===
Suponha que $(X,\tau)$ seja um espaço [[topologia:espacoRegular|$T_3$]]. Sejam $x\in X$ e $V\in \tau$ tais que $x\in V$. Como $V$ é aberto, $X\setminus V$ é um fechado e $x\notin X\setminus V$. Dessa forma, existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $x\in A$ e $X\setminus V\subset B$. Portanto, $A\subset X\setminus B$, que é fechado. Logo, $\bar{A}\subset X\setminus B\subset V$

=== ($\Leftarrow$) ===
Sejam $x\in X$ e $F\subset X$ fechado tais que $x\notin F$. Então, $X\setminus F$ é aberto e contém $x$. Dessa forma, existe um aberto $A$ tal que $x\in A\subset \bar{A}\subset X\setminus F$. Ora, $x\in A$, $F\subset X\setminus \bar{A}$ e $A\cap (X\setminus \bar{A}= \emptyset)$. $\blacksquare$

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