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Sejam $A,B \subset X$ subconjuntos disjuntos fechados não vazios. Seja $f:X \Rightarrow [0,1]$ uma função contínua como definida no teorema. Então, $A \subset f^{-1}([0,\frac{1}{2})$ e $B \subset f^{-1}((\frac{1}{2},1])$. Note que essas duas imagens inversas são disjuntas, pois são imagens inversas de conjuntos disjuntos, e são abertas, pois $f$ é contínua.

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Considere o lema
<WRAP round box>
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Suponha que exista $(F_s)_{s\in\mathcal{Q}}$ família de fechados satisfazendo


* $F_r \subset Int(F_s)$ se $r<s$
    
* $\cup_{s\in \mathcal{Q}}F_s=X$
    
* $\cap_{s\in \mathcal{Q}}=\0$


Então a função $\Phi:X \Rightarrow \mathcal{R}$ dada por $\Phi(x)=\{r\in \mathcal{Q}:x\in F_r\}$ é uma função contínua.

</WRAP>

Sejam $C_0:=A$ e $U_1:=X\minus B$. Por hipótese, $A\cap B = \O$. Tem-se $C_0 \subset U_1$.

Note-se que se se um espaço é normal, então toda vizinhança aberta $U\supset C$ de um subconjunto fechado $C$ contém uma vizinhança menor $V$ e $\bar V$ tais que $$C \subset V \subset \bar V \subset U$$

Ao fazer isso sucessivamente, obtém-se a seguinte sequência de subconjuntos abertos $U_r$ e subconjuntos fechados $C_r$ tais como 

$$C_0 \subset U_{\frac{1}{4}} \subset C_{\frac{1}{4}} \subset U_{\frac{1}{2}} \subset C_{\frac{1}{2}} \subset U_{\frac{3}{4}} \subset C_{\frac{3}{4}} U \subset U_1$$

Veja que $$\{U_r \subset X\}_{r\in {0,1]\cap Q{dy}}} X$$

Com a propriedade $$\forall ((r_1<r_2)\Rightarrow (U_{r1} \subset \bar{U_{r_1}} \subset U_{r_2})$$

Defina a função $$f:X \Rightarrow [0,1]$$
tal que $$f(x):=lim_{U_r \supset \{x\} r}$$

Note que tal função tem a propriedade de $f(A)=\{0\}$ e $f(B)=\{1\}$.

Ora, mas dessa forma as condições do Lema estão satisfeitas, logo $f$ é contínua.