Sejam $f, g, h: X \to Y$ funções contínuas.

Reflexiva:

Basta considerar $H(x,t) = f(x)$, para todo $t \in [0,1]$.

Simétrica:

Suponha que $f \simeq g$, então existe $H : X \times [0,1] \to Y$ contínua tal que $H(\cdot,0) = f$ e H(\cdot,1) = g. Considere $H'(x,t) = H(x, 1-t)$, temos que $H'$ é contínua e além disso, $H'(x,0) = H(x,1) = g(x)$ e $H'(x,1) = H(x,0) = f(x)$, para todo $x \in X$. Logo $g \simeq f$.

Transitiva:

Suponha que $f \simeq g$ e $g \simeq h$, então existem $H_1, H_2 : X \to Y$ tal que $H_1(\cdot, 0) = f$, $H_1(\cdot, 1) = g$, $H_2(\cdot, 0) = g$ e $H_2(\cdot, 1) = h$. Assim, defina $H(x,t) = H_1(x,2t)$, para $0 \leq t \leq 1/2$ e $H(x,t) = H_2(x, 2t -1)$, para todo $1/2 < t \leq 1$. Veja que $H(x, 0) = H_1(x,0) = f(x)$ e $H(x,1) = H_2(x,1) = h(x)$, para todo $x \in X$. Além disso, $H$ é contínua, pois $H_1(x, 1) = g(x) = H_2(x,0)$ e restrigindo $H$ aos intervalos fechados $[0, 1/2]$ e $[1/2, 1]$ temos funções contínuas. Portanto, $f \simeq h$.