Supondo que $\mathcal{F}$ separa pontos, então para quaisquer $x,y \in X$, $\exists \beta \in A$ tal que $f_{\beta}(x) \neq f_{\beta}(y)$. Sejam $x, y \in X$ tais que $x \neq y$, então $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(x)$ e $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(y)$ diferem em pelo menos uma coordenada, isto é, $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(x) \neq \Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(y) $, o que mostra a injetividade.

Para a segunda parte, como $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}$ é contínua e injetora, então é uma bijeção sobre sua imagem, resta mostrarmos então que $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}^{-1}$ é contínua. Para isso, basta mostrarmos que se $F \subset X$ é fechado então $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha} (F)$ é fechado sobre sua imagem. Seja $z \in \overline{\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(F)} \cap \Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(X)$, onde $z = (z_{\alpha})_{\alpha \in A}$, então existe $x \in X$ tal que $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(x) = z$. Se mostrarmos que $x \in F$ então segue que $z \in \Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(F)$. Suponha por contradição que $x \notin F$, como $\mathcal{F}$ separa pontos de fechados, existe $\beta \in A$ tal que $f_{\beta}(x) \notin \overline{f_{\beta}(F)}$. Seja $V_{\beta} \subset X_{\beta}$ aberto tal que $f_{\beta}(x) \in V_{\beta}$ e $V_{\beta} \cap f_{\beta}(F) = \emptyset$. Seja $V = \prod_{\alpha \in A} V_{\alpha}$, onde $V_{\alpha} = X_{\alpha}$, para todo $\alpha \in A$ com $\alpha \neq \beta$. Veja que $z \in V$, pois $z_{\beta} = f_{\beta}(x) \in V_{\beta}$. Além disso, $V \cap \Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(F) = \emptyset$, pois $V_{\beta} \cap f_{\beta}(F) = \emptyset$, de onde segue que $z \notin \overline{\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(F)}$, uma contradição.