Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência tal que $x_n \rightarrow x$. Dado $\varepsilon>0$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $d(x, x_n) < \frac{\varepsilon}{2}, \forall n \ge N$, assim se $n, m \ge N$ vale que:

$$d(x_n, x_m) \le d(x_n, x) + d(x_m, x) \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

E portanto $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é de Cauchy.