====== Topologia Produto: Definição Geral ======

<WRAP center round tip 60%>
Motivação Curta: Ela é mais eficiente do que o caso anterior. 
</WRAP>

  * **__Definição__**: Seja $F$ uma família de funções da forma $f_α: X →Y_α$, $α ∈ A$, em que $X$ é um conjunto e cada $(Y_∝,\tau_α)$ é um espaço topológico. Chamamos de <wrap hi>__topologia fraca induzida__</wrap> por $F$ a topologia sobre $X$ gerada pelos conjuntos da forma $F_α^{-1}[V]$, onde $α ∈ A$, $V ∈ \tau_0$. Note que, desta forma, cada $f_α$ é contínua.

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Após a definição anterior vamos definir o produto no caso geral.
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   *  **__Definição__**: Seja $(X_∝,\tau_α)_{α ∈ A}$ uma família de espaços topológicos. Defina o produto dos $(X_∝,\tau_α)_{α ∈ A}$ como;
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 $\prod_{\alpha\in A} X_{\alpha}$ = {$(x_{\alpha})_{\alpha \in A} : x_{\alpha} \in X_{\alpha}$} 
</WRAP>

com a __topologia fraca induzida__ pelas funções $(\pi_{\alpha})_{\alpha \in A}$, onde cada $\pi_{\alpha}((x_{β})_{β \in A}) = x_{\alpha}$ (chamamos $x_{\alpha}$ de $\alpha$-ésima coordenada de $(x_{\alpha})_{\alpha \in A}).$

Esta topologia é chamada de <wrap hi>topologia produto sobre $\prod_{\alpha\in A} X_{\alpha}$</wrap> (ou <wrap hi>topologia de Tychonoff</wrap>).

**<wrap hi>Observação:</wrap>** Temos que a topologia é gerada pelos conjuntos da forma $\prod_{β \in A} V_{β}$, onde 

$$V_β = 
\begin{cases}
V,\ se \ β = \alpha \\
X_{β}, \ se \ β \neq \alpha
\end{cases}
$$

onde $V$ é um aberto de $X_{\alpha}$. Isso é verdade, pois $\pi_α^{-1}[V] = \prod_{β \in A} V_{β}$.
\\
Fechando essa família por interseções finitas, temos uma base para a topologia, ou seja, uma base para esse espaço é formada por conjuntos da forma:

<WRAP center round box 7%>
$\prod_{\alpha\in A} V_{\alpha}$
</WRAP>

onde {$ \alpha \in A: V_\alpha ≠ X_\alpha $} é finito e para cada $V_\alpha$ é aberto em $X_\alpha$. Denotaremos estes abertos como <wrap hi>abertos básicos do produto</wrap>, ou, também podemos denotar como <wrap hi>suporte (supp) de aberto</wrap> o conjunto finito {$ \alpha \in A: V_\alpha ≠ X_\alpha $}.

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Produto de aberto(s) **não** é aberto(s)!

</WRAP>

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Vamos justificar a afirmação acima com um exemplo.

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  * __**Exemplo**__: Tomamos o produto $A = \prod_{n \in \mathbb{N}}$ $]0,1+n[$ não é aberto em $\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R}$. De fato, o ponto $x = (\frac{1}{2})_{n \in \mathbb{N}}$ (isto quer dizer que todas as coordenadas são iguais a $\frac{1}{2}$) é um ponto de A, mas $\not\exists$ um aberto básico contendo $x$ e contido em $A$. 

Para verificarmos, supomos que $V$ seja um aberto básico tal que $x \in V \subset A$. Seja $n$ fora do suporte de $V$. Notamos que o ponto $y = (y_{k})_{k \in \mathbb{N}}$ onde 

$$y_k = 
\begin{cases}
\frac{1}{2},\ se \ k \neq n \\
-1, caso \ contrário
\end{cases}
$$

é tal que $y \in V$, mas $y \not\in A$. 

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Apesar de produto de abertos não serem abertos em alguns casos,** o produto de fechado sempre é fechado**!

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Veja também:

  - [[topologia:produtofinito|Caso finito]]; 
  - [[topologia:propriedadesbasicasproduto| Propriedades Básicas]].