===== Definição e Lema da Sub-Base de Alexander =====

O conceito de compacidade é de grande importância em Topologia. Vamos conhecê-lo!

<WRAP round box>
=== Definição ===

Dado um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]] $(X,\tau)$, dizemos que $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é uma **cobertura** de $X$ se $\bigcup_{Y\in \mathcal{F}} Y=X$. e for o caso em que $\mathcal{F}\subset \tau$, então dizemos que $\mathcal{F}$ é uma **cobertura aberta** de $X$.
</WRAP>

<WRAP round box>
=== Definição ===

Dizemos que $(X,\tau)$ é **compacto** se toda cobertura aberta de $X$ admite subcobertura finita, i.e., dada cobertura $\mathcal{F}\subset \tau$ de $X$ existe $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ finito tal que $\mathcal{G}$ é cobertura de $X$.
</WRAP>

Alguns exemplos:

<WRAP round box>
=== Exemplo ===

Seja $X$ um conjunto e $\tau=\{S\subset X:X\setminus S\text{ é finito}\}\cup\{\emptyset\}$ é a topologia cofinita em $X$, então $(X,\tau)$ é compacto. <wrap help>[[dem:alexeg1|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>

<WRAP round box>
=== Exemplo ===

$X=B_1(0)\subset \mathbb{R}^n$ com a topologia induzida pela métrica euclidiana **não** é compacto. <wrap help>[[dem:alexeg2|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>

Caracterizaremos a seguir os espaços compactos, de forma que possamos investigar apenas coberturas com conjuntos numa família "menor" que a de todos os abertos.

<WRAP round box>
=== Definição ===

Dado um espaço topológico $(X,\tau)$, dizemos que $\mathcal{B}$ é sub-base para $X$ se
$$\mathcal{B}':=\left\{\bigcap_{i=1}^k B_i:k\in \mathbb{N},\ B_1,\dots,B_k\in \mathcal{B}\right\}$$
é uma base para $X$. Note que, como $\mathcal{B}\subset \mathcal{B}'$, então todos os elementos de $\mathcal{B}$ são abertos de $\tau$.
</WRAP>

<WRAP round box>
=== Lema (sub-base de Alexander) ===

Seja $(X,\tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ sub-base para $X$. Então
$$(X,\tau)\text{ é compacto}\iff \text{toda cobertura }\mathcal{F}\subset \mathcal{B}\text{ de }X\text{ admite subcobertura finita}$$ <wrap help>[[dem:alexlemma1|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>

<WRAP round box>
=== Exemplo ===

O intervalo $[0,1]$ com a topologia induzida pela métrica euclidiana é compacto. <wrap help>[[dem:alexeg3|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>