Seja $I\subset\mathbb{R}$ intervalo. Vamos provar que $I$ é conexo por caminhos. Sejam $a,b\in I$. Basta considerar a função $f:[0,1]\rightarrow I$ com $f(x)=(1-x)a+xb$. Claro que $f$ é contínua e, como $I$ é convexo, está bem definida. Ademais, temos $f(0)=a$ e $f(1)=b$.