====== Conexos =======
Vamos começar definindo o que é ser **Desconexo**

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=== Definição: Desconexos ===
$X$ é **Desconexo** se existem $A,B$ não triviais(i.e $A, B \neq \emptyset$) abertos disjuntos tais que $X = A \cup B$.
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Note que então, ser conexo significa que se existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $X = A \cup B$, então $A = \emptyset$ ou $B = \emptyset$
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=== Exemplo ===
A Reta de Sorgenfrey é desconexa. (Prove)
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    *Mostre que um subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$ é conexo se, e somente se, $X$ é um intervalo.
    $\Rightarrow$) 
    -Faça por contrapositiva, i.e, suponha que $X$ não é um intervalo e conclua que $X$ não é conexo.
    
    $\Leftarrow$) 
    -Sendo $X$ um intervalo, por absurdo suponha que $X$ não é conexo.
    -Escreva $X$ como união de dois abertos disjuntos $V,W$.
    -Tome $v \in V$ e $w \in W$, e S.P.G suponha $v < w$.
    -Defina $\alpha = sup\left\{x \in V: \left[v,x\right] \subset V \right\}$.
    -Conclua que $\alpha \not\in V$ o que implica que $\alpha \in W$, mas isso contraria a definição de $\alpha$ ser supremo.

    *Mostre que se $X$ é conexo e $f: X \rightarrow Y$ é contínua, então $f[X]$ é conexo (i.e funções contínuas levam conexos em conexos).
    -Por absurdo suponha que $f[X]$ é disconexo.
    -Tome $A,B$ abertos em $Y$ disjuntos não triviais, com $f[X] \cap A, f[X] \cap B \neq \emptyset$, tais que $f[X] \subset A \cup B$.
    -Note que $f^{-1}[A], f^{-1}[B]$ atestam que $X$ não é conexo (contradição).

    *Mostre que se X é conexo, e $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua, tomando $a,b \in X$ tais que $f(a) \leq f(b)$, e $y \in \mathbb{R}$ é tal que $f(a) \leq y \leq f(b)$ então $\exists c \in X$ tal que $f(c) = y$
    -Este é um corolário do resultado anterior.

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=== Corolário do último exercício ===
Seja $X$ completamente regular, conexo tal que $|X| \geq 2$. Então $|X| \geq |\mathbb{R}|$
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=== Definição: Mutuamente Separados ===
Seja $X$ espaço topológico e sejam $A, B \subset X$. Dizemos que $A, B$ são **mutuamente separados** se $\overline{A} \cap B = \emptyset$ e $A \cap \overline{B} = \emptyset$.
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=== Exemplo ===
$]-\infty, 0[$ e $]0, +\infty[$ são mutuamente separados em $\mathbb{R}$.
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    *Seja $X$ espaço topológico. Mostre que $Y \subset X$ é conexo se, e somente se, não existem $A, B \subset X$ mutuamente separados e não vazios tais que $Y = A \cup B$.
    -Suponha $Y$ conexo.
    -Suponha $A,B$ mutualmente separados, não vazios t.q $A \cup B = Y$.
    -Considere $U = Y \setminus \overline{A}$, $V = Y \setminus \overline{B}$.
    -Verifique que $U,V$ são disjuntos, e ambos não vazios.
    -Conclua que isso leva a uma contradição.
    -Agora suponha $Y$ não conexo, então $\exists U,V \subset Y$ abertos em $Y$, disjuntos e não vazios tais que $Y = A \cup B$.
    -Sem Perda de Generalidade, suponha $x \in \overline{U} \cap V$.
    -Conclua que isso leva a uma contradição.

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=== Corolário ===
Sejam $X$ um espaço topológico e $Y \subset X$ conexo. Se $A, B \subset X$ são mutuamente separados e $Y \subset A \cup B$, então $Y \subset A$ ou $Y \subset B$. (Prove)
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Seja $X$ espaço topológico. Demonstre as proposições abaixo:
    * Se $X = \bigcup_{\alpha \in I} X_\alpha$, onde cada $X_\alpha $ é conexo e $X_\alpha \cap X_\beta \neq \emptyset$ para quaisquer $\alpha, \beta \in I$ distintos, então $X$ é conexo.
    -Por absurdo, suponha que $X$ seja disconexo.
    -Tome $A,B \subset X$ mutuamente separados não vazios tais que $A \cup B = X$.
    -Note que $\forall \alpha \in I, X_\alpha \subset A$ ou $X \subset B$.
    -Suponha que existam $\alpha, \beta \in I$ tais que $X_\alpha \subset A$ e $X_\beta \subset B$.
    -Conclua que isso leva a uma contradição.
    * Se para quaisquer $x, y \in X$ existir $A \subset X$ conexo tal que $x, y \in A$, então $X$ é conexo.
    -Fixe $x \in X$.
    -$\forall y \in X$, seja $A_y$ conexo tal que $x,y \in A_y$.
    -Utilize o resultado anterior para concluir o exercício.
    * Se $A \subset X$ é conexo, para todo $B \subset X$ tal que $A \subset B \subset \overline{A}$, temos que $B$ é conexo.
    -Por absurdo, suponha que não.
    -Sejam $U,V$ mutuamente separados não vazios tais que $B = U \cup V$.
    -Note que $A \subset U \cup V$. Logo, por $A$ ser conexo, $A \subset U$ ou $A \subset V$.
    -Conclua que isso leva a uma contradição.