===== Propriedades locais de conexidade =====

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=== Definição ===
Um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]] $(X,\tau)$ é **localmente conexo** (resp. **por caminhos**) se todo ponto de $X$ admite uma [[topologia:bases|base local]] **conexa** (resp. **por caminhos**).
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  * O espaço pente (com ou sem a origem) é conexo, mas **não** é localmente conexo.

  * $[0, 1[\cup]1, 2]$ é localmente conexo, mas **não** é conexo.
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=== Proposição ===
Se $(X,\tau)$ é um espaço conexo e localmente conexo por caminhos, então $(X,\tau)$ é [[topologia:conexcaminhos|conexo por caminhos]]. <wrap help>[[cldemo1|Demo]].</wrap>
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=== Proposição ===
Se $(X,\tau)$ é localmente conexo, então todo ponto de $X$ tem componente conexa aberta. <wrap help>[[cldemo2|Demo]].</wrap>
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=== Veja também ===
  * [[topologia:mutseparados|Mutuamente separados]]
  * [[topologia:conexcaminhos|Conexidade por caminhos]]
  * [[topologia:conexaplic|Aplicações]]