===== Componentes conexas são abertas em um espaço com uma quantidade finita delas =====

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Sabemos que as componentes conexas de um espaço [[topologia:compconexa | são sempre fechadas]]. Em geral elas não precisam ser abertas, por exemplo, a componente conexa de cada ponto $x$ da reta de Sorgenfrey é o conjunto unitário $\{x\}$. Mas, quando o espaço topológico $(X, \tau)$ possui uma quantidade finita de componentes conexas, então cada componente conexa é necessariamente um cojunto aberto, como veremos a seguir:
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A ideia é mostrar que cada componente conexa será o complementar de uma união finita de fechados.
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Seja $x \in X$ e denote por $C_{x}$ a componente conexa de $x$. Evidentemente temos que $$X = \cup_{x \in X} C_{x}.$$ Se $y \in C_{x}$ então o conjunto $C_{x} \cup C_{y}$ é um conexo que contém $x$, portanto $C_{x} = C_{y}$, isto é, as componentes conexas particionam o espaço $X$. Sendo assim, se o espaço possui uma quantidade finita de componentes conexas, podemos escrever $$X = C_1 \cup C_2 \cup \dots \cup C_n. $$
Veja que
$$X \setminus C_i = C_1 \cup \dots \cup C_{i-1} \cup C_{i+1} \cup \cdots \cup C_n, $$
é uma união finita de conjunto fechados, logo $X \setminus C_i$ é fechado, de onde segue que cada $C_i$ é um conjunto aberto.