==== Topologia do complementar finito em não-enumerável ====

Uma topologia interessante que podemos definir sobre um conjunto não-enumerável, é a topologia do **complementar finito**, definida como segue.

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=== Proposição ===
Seja $\tau$ a coleção de conjuntos do conjunto não-enumerável $X$, composta pelo conjunto vazio e pelos complementares dos subconjuntos finitos de $X$ Então, $\tau$ define uma topologia em $X$, a chamada topologia do //complementar finito//. 
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**Demonstração:** Claramente tem-se que $\emptyset \in \tau$, bem como $X \in \tau$, visto que o complementar de $X$ é o conjunto vazio, sendo este finito. Tome agora uma família $\{ A_i \}_{i \in I}$ de conjuntos não-vazios de $\tau$. Dessa forma, para cada $i \in I$, existe um subconjunto finito $B_i \subset X$, de modo que $A_i = X \setminus B_i$. Suponha que $I$ é um conjunto arbitrário de índices. Temos então que 
$$\bigcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} (X \setminus B_i) = X \setminus \bigcap_{i \in I} B_i,$$
e, como a interseção arbitrária de conjuntos finitos é um conjunto finito, $\bigcup A_i \in \tau$. Agora suponha que $I = \{1, ..., n \}$ seja um subconjunto finito de $\mathbb{N}$. Disso, temos 
$$\bigcap_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} X \setminus B_i = X \setminus \bigcup_{i \in I} B_i;$$
portanto, $\bigcap_{i \in I} A_i \in \tau$, dado que a união finita de conjuntos finitos é um conjunto finito. Com isso, $\tau$ define uma topologia em $X$. 

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=== Proposição ===
O espaço topológico $(X, \tau)$, sendo $\tau$ a topologia do complementar finito, é não metrizável.  
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**Demonstração:** Tome dois abertos não-vazios $A, B \in \tau$. Disso, temos que seus complementares $X \setminus A$ e $X \setminus B$ são finitos. Escrevamos 
$$X \setminus ( A \cap B) = (X \setminus A) \cup (X \setminus B). $$ 
Desse modo, $X \setminus ( A \cap B)$ é finito, e, portanto, distinto de $X$. Logo, $A \cap B \neq \emptyset$. Isso posto, o espaço $(X, \tau)$ não é de Hausdorff, portanto, não é metrizável.