==== Caracterização para os compactos em $\mathbb{R}^n$ ====

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=== Proposição ===
Um conjunto $A \subset \mathbb{R}^n$ é compacto se, e somente se, $A$ é fechado e limitado.
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**Demonstração.**
Sabe-se que se $(X,d)$ for um espaço métrico completo, então $A \subset X$ é compacto se, e somente se, $A$ é fechado e totalmente limitado. Também sabemos que $\mathbb{R}^n$ é completo, portanto, precisamos apenas provar que $A \subset \mathbb{R}^n$ é limitado se, e somente se, é totalmente limitado. Com efeito, se $A$ for totalmente limitado, então existe $F \subset A$ finito tal que $A \subset \cup_{x \in F} B_x(1)$, então $A$ está contido em uma união finita de conjuntos limitados, logo, $A$ é limitado. Reciprocamente, seja $\epsilon > 0$ e suponha $A$ limitado. Defina para cada $m \in \mathbb{Z}$, a bola aberta $B_m = B_\epsilon(m\epsilon) \subset \mathbb{R}$, então $\mathbb{R} = \cup_{m \in \mathbb{Z}} B_m$. Observe também que, em $\mathbb{R}^n$ (usando a métrica do máximo, por conveniência), para $m_1$, $m_2$, ..., $m_n$ inteiros, temos $B_\epsilon((m_1 \epsilon, ..., m_n \epsilon)) = B_{m_1} \times \cdots \times B_{m_n}$, logo, podemos decompor o $\mathbb{R}^n$ em uma união de bolas abertas de raio $\epsilon$, mais precisamente, $\mathbb{R}^n = \cup B_\epsilon((m_1 \epsilon, ..., m_n \epsilon))$, onde a união é indexada em todos os elementos $(m_1, ..., m_n) \in \mathbb{Z}^n$. Como $A \subset \mathbb{R}^n$ é limitado, $A$ está contido numa união finita dessas bolas e segue diretamente disso que $A$ é totalmente limitado.