** Compactificação de Stone-Čech dos racionais. **

\\ Considere $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$. Vamos mostrar que $K$ é uma compactificação de $\mathbb{Q}$ e que $\overline{\mathbb{Q}}$ não é homeomorfa à $\beta \mathbb{Q}$. Mas antes da demonstração destes, veremos um resultado necessário para a prova.


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=== Proposição 1 ===
Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos, $f:X \longrightarrow Y$ continua. Dado $A \subset X$, então $f[\overline{A}] \subset \overline{f[A]}$. [[.:dem:demostonecechpropaux| Demonstração]]
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\\ Faremos a próxima demonstração semelhante a [[topologia:stone-N|Compactificação de Stone–Čech dos naturais]], tomando $\mathbb{Q}$ com a topologia discreta. Lembrando que os naturais e os racionais não são [[topologia:defcompacto| compactos]]. 

Sabemos que $\mathbb{Q}$ é [[topologia:espacocompletregular| completamente regular]]  [[topologia:espacoHausdorff|Hausdorff]], então admite [[topologia:stone|compactificação]]. 

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=== Proposição 2 ===
Se $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$, então $K$ é uma compatificação de $\mathbb{Q}$. [[.:dem:demostonecechracionaisparte0| Demonstração]]
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=== Proposição 3 ===
Considere $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$ e $K$ é uma compactificação de $\mathbb{Q}$.  Veremos que $K$ não é homeomorfo à $\beta \mathbb{Q}$. [[.:dem:demostonecechracionaisparte1| Demonstração]]
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\\ Ver também:

 * [[topologia:stone|Compactificação de Stone-Čech]]

 * [[topologia:stone-N|Compactificação de Stone–Čech dos naturais]]

 * [[topologia:compactifuncEX753|Um caso interessante sobre funções contínuas e compactificações]]