//**[Exercício 2.1.21.]** Continuidade em partes abertas implicam continuidade no todo.//

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== Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \sigma)$ espaços topológicos. Seja $(A_{i})_{i \in I}$ família de abertos de $X$ tal que $\bigcup_{i \in I} A_{i} = X$. Seja $f : X \rightarrow Y$. ==

	
**Proposição:** //Se $f \upharpoonright A_{i}$ é contínua para todo $i \in I$, então $f$ é contínua.//
	
//Demonstração:// Seja $A$ um aberto qualquer de $X$. Já que os $A_{i}$ cobrem o espaço todo, temos: $$f^{-1} [A] = \bigcup_{i \in I} A_{i} \cap f^{-1} [A] = \bigcup_{i \in I} \Big(A_{i} \cap f^{-1} [A]\Big)$$
	
Agora, percebamos que podemos escrever $\big(f \upharpoonright A_{i}\big)^{-1} [A] = A_{i} \cap f^{-1} [A]$ e, então, $$\bigcup_{i \in I} \big(f \upharpoonright A_{i}\big)^{-1} [A] = \bigcup_{i \in I} \Big(A_{i} \cap f^{-1} [A]\Big) = f^{-1} [A]$$
	
Pela continuidade de $f \upharpoonright A_{i}$, a pré-imagem de abertos é aberta. Sabemos, também, que a união de abertos é aberta. Desse modo, $f^{-1} [A]$ é aberto --- e $f$ é contínua.

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**Observação:** //Note que a volta é imediata (mesmo que cada $A_{i}$ não seja aberto). Basta lembrarmos que a continuidade de $f$ implica a continuidade de $f$ em todo ponto de $X$.//

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=== Veja também ===
  * [[topologia:cober.fechada| Continuidade em finitas partes fechadas implica continuidade no todo.]]