====== Caracterização de $\mathbb{Q}$ por topologia da ordem ======

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=== Lema ===
Sejam $n\in\mathbb{N}$, $(\{a_0, a_1, \dots, a_{n+1}\}, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ conjuntos totalmente ordenados e $f:\{a_0, a_1, \dots, a_n\}\rightarrow Y$ função injetora que preserva a ordem. Se $\unlhd$ é uma ordem densa e $(Y, \unlhd)$ não possui elementos extremos, então existe $\bar{f}:\{a_0, a_1, \dots, a_{n+1}\}\rightarrow Y$ função injetora que preserva a ordem e estende $f$. <wrap info>[[caracterizacaodosracionaisportopologiadaordemlema1|Demonstração]].</wrap>
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=== Proposição ===
Sejam $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ conjuntos totalmente ordenados e $\tau$, $\rho$ suas [[topologia:aincriveltopologiadaordem|topologias da ordem]], respectivamente. Se $X, Y$ são enumeráveis, $\preceq$, $\unlhd$ são ordens densas e $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ não possuem elementos extremos, então $(X, \tau)$, $(Y, \rho)$ são homeomorfos. <wrap info>[[caracterizacaodosracionaisportopologiadaordemproposicao1|Demonstração]].</wrap>
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=== Corolário ===
Seja $(X, \preceq)$ um conjunto totalmente ordenado e $\tau$ a sua [[topologia:aincriveltopologiadaordem|topologia da ordem]]. Se $X$ é enumerável, $\preceq$ é uma ordem densa e $(X, \preceq)$ não possui elementos extremos, então $(X, \tau)$ é homeomorfo a $\mathbb{Q}$ com a sua topologia usual.
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