=== Exercício 5.4.11 === Fixe $ x \in \mathbb{R}^{2} $ e $ r>0 $. Mostre que não existe $ f: B_{r}(x) \to I $ homeomorfismo, onde $ I $ é um intervalo. **Solução:** Suponha que exista um homeomorfismo do tipo. Considere o conjunto $ C = \{y \in \mathbb{R}^{2} \mid |y-x| = \tfrac{r}{2}\} $. Então $ C $ é um subconjunto de $ B_{r}(x) $ e $ f\upharpoonright C $ é um homeomorfismo entre $ C $ e um subconjunto de $ I $. Note que isso é uma contradição, pois $ C $ é homeomorfo a $ S^{1} $ e [[topologia:conexaplic|não existe]] um homeomorfismo entre $ S^{1} $ e um subconjunto de $ \mathbb{R} $. Segue que não existe $ f $.