==== Primeiro Axioma de Enumerabilidade ====

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=== Definição ===

Dizemos que um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]] $(X, \tau)$ satisfaz o **primeiro axioma de enumerabilidade** se todo $x \in X$ tem [[topologia:bases|base local]] enumerável. 
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  * Para que um espaço topológico satisfaça a definição acima, podemos mostrar simplesmente que todo $x \in X$ admite um [[topologia:bases|sistema fundamental de vizinhanças]] enumerável, pois isto é equivalente a $x$ admitir uma base local enumerável.  <wrap help>[[solucao:equiv|Demonstração]]</wrap>
  * Para mostrar que um espaço topológico não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, não é suficiente exibirmos uma base local não enumerável. Em geral, o caminho mais simples é verificar que o espaço não satisfaz determinada propriedade que seja inerente a espaços que satisfazem tal axioma. 
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=== Exemplos ===

  * Todo [[topologia:espacometrico|espaço métrico]] $(X,d)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. De fato, dado $x \in X$, então $\lbrace B_{\frac{1}{n}}(x):n \in \mathbb{N}_{>0} \rbrace$ é uma base local para $x$. <wrap help>[[solucao:baselespm|Demonstração]]</wrap>
  * A [[.:exemplo:retadesorgenfrey|Reta de Sorgenfrey]] satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. De fato, dado $x \in \mathbb{R}_S$, então $\lbrace [x,x+\frac{1}{n}[ \;: n \in \mathbb{N}_{>0} \rbrace$ é uma base local para $x$. <wrap help> [[topologia:exemplo:sorgenfreybaselocenum|Demonstração]]</wrap>
  * A [[.:exemplo:retaesburacada|Reta Esburacada]] não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. <wrap help> [[topologia:exemplo:esbnaobaselocenum|Demonstração]]</wrap>


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=== Proposição ===
Se $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então todo $x \in X$ admite uma base local enumerável e descrescente, ou seja, uma base local $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $V_{n+1} \subset V_n$, para todo $n \in \mathbb{N}$. <wrap tip>[[.:dem:ideia1|Ideia]] </wrap>  $\;$ <wrap help>[[.:dem:demo1|Demonstração]]</wrap>
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=== Veja também ===
  * [[Separabilidade]] 
  * [[topologia:convergenciaefecho| Caracterização do fecho em termos de limites de sequências]]