==== $\bigcup_{A \in \mathcal{A}_{1}} A$ é denso em $A_{0}$ ====

=== Demonstração ===
De fato, seja $V \subset A_{0}$ um aberto não vazio. Suponha que $V \cap \left[ \bigcup_{A \in \mathcal{A}_{1}} \right] = \emptyset$. Então, $\forall A \in \mathcal{A}_{1}$, $V \cap A = \emptyset$. Note que $V$ é uma jogada válida para BETO, pois é um aberto não vazio contido em $A_{0}$. Logo, $\exists A_{B} \subset V$ jogada válida de ALICE. Note que $A_{B} \cap A = \emptyset$ $\forall A \in \mathcal{A}_{1}$. Mas isso é uma contradição com o fato de $\mathcal{A}_{1}$ ser uma família maximal de conjuntos dois a dois disjuntos.

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