Um dos principais interesses no jogo de Banach-Mazur é sua relação com espaços de Baire.

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=== Proposição 1: ===
Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico. Se ALICE não tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur, então $\left( X, \tau \right)$ é um espaço de Baire.
<wrap help>[[banachmazurbaireprop1|Demonstração]]</wrap>
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=== Proposição 2: ===
Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico. Se $\left( X, \tau \right)$ é um espaço de Baire, então ALICE não tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur
<wrap help>[[banachmazurbaireprop2|Demonstração]]</wrap>
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=== Corolário 1: ===
O espaço ser de Baire é equivalente a ALICE não ter estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur
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Note que, se BETO tem uma estratégia vencedora num espaço $X$, então ALICE não tem estratégia vencedora. Em particular,
$$
\text{BETO tem estratégia vencedora em } X \implies X \text{ é um espaço de Baire}
$$
Além disso, se BETO tem estratégia vencedora em $X$, então BETO tem estratégia vencedora em $X \times X$. Em particular,
$$
\text{BETO tem estratégia vencedora em } X \implies \text{BETO tem estratégia vencedora em } X \times X \implies X \times X \text{ é um espaço de Baire}
$$
No entanto, a existência de um espaço de Baire $T$ tal que $T \times T$ não é de Baire implica que o jogo de Banach-Mazur é indeterminado em $T$. De fato,
\begin{align}
T \text{ é um espaço de Baire} &\implies \text{ALICE não tem estratégia vencedora em } T\\
T \times T \text{ não é um espaço de Baire} &\implies \text{BETO não tem estratégia vencedora em } T
\end{align}
A existência de um espaço $T$ como acima foi demonstrada por Cohen.

=== Links úteis ===
  * [[topologia:baire|Espaços de Baire]]
  * [[topologia:banachmazur|O jogo de Banach-Mazur]]
  * [[topologia:banachmazurexer2|Se BETO tem estratégia vencedora em $X$, então BETO tem estratégia vencedora em $X \times X$]]
  * [[https://www.ams.org/journals/proc/1976-055-01/S0002-9939-1976-0401480-4/S0002-9939-1976-0401480-4.pdf|Espaço de Baire cujo produto não é de Baire]]