==== Espaços de Baire ====
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===Definição:===
Dizemos que $(X, \tau)$ é um Espaço de Baire se para toda família $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de abertos densos em $X$, $\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$ é denso em $X$. 
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Tal definição é interessante do ponto de vista topológico pois quando trabalhamos com um espaço qualquer, não necessariamente a intersecção de dois densos será densa, eles podem ser disjuntos, por exemplo. Mas em uma família onde cada denso é aberto, qualquer intersecção finita será densa. Em espaços de Baire podemos repetir esse processo para famílias enumeráveis o que é atrativo. 
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Perceba que, em um espaço de Baire, qualquer união enumerável de fechados não densos tem interior vazio.
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Resultados principais:
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**Teorema de Baire para compactos:**
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Se $(X, \tau)$ é um [[topologia:defcompacto| compacto]][[topologia:espacohausdorff| de Hausdorff]], então é um espaço de Baire. [[.:dem:comphausehbaire|Demonstração.]]
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**Teorema de Baire para espaços métricos completos:**
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Se $(x,\tau)$ é um [[topologia:metcompleto| espaço métrico completo]], então é um espaço de Baire. [[.:dem:metcompletoehbaire|Demonstração.]]
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**Corolários:**  
  * $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ é um espaço de Baire; [[.:dem:irracionaisehdebaire|Demonstração.]]
  * $\mathbb{Q}$ não é completamente metrizável; [[.:dem:Qnaoehcopletamentemet|Demonstração.]]
  * $\mathbb{Q}$ não é um $G_{\delta}$ em $\mathbb{R}$. [[.:dem:QnaoehgdeltaemR|Demonstração.]]
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A seguinte proposição nos mostra que <wrap hi>não vale a recíproca</wrap> dos teoremas anteriores.
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**Proposição:**
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A [[topologia:exemplo:retadesorgenfrey| reta de Sorgenfrey]] é um espaço de Baire mas não é [[topologia:localmentecompacto| localmente compacto]] nem [[topologia:metcompleto| completamente metrizável]]. [[.:dem:sorgenfreyehbaire|Demonstração.]]
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===Veja também:=== 
  * Todo espaço localmente compacto de Hausdorff é de Baire;
  * Todo espaço enumerável [[topologia:espacot1|$T_1$]] sem pontos isolados não é de Baire; [[dem:t1semptoisoladonaoehbaire|Demonstração]]
  * Todo espaço de Baire é tal que $\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$, em que $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma família de abertos densos do espaço, é um espaço de Baire.
  * Todo espaço de Baire é de  [[conjmagro|segunda categoria.]]