===== Axiomas de separabilidade =====
  

==== Definições e exemplos ====

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=== Espaços $T_0$===

 Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{0}$ se para quaisquer $x, y \in X$ distintos existir um aberto $A$ tal que $(x \in A$ e $y \notin A)$ ou $(x \notin A$ e $y \in A)$.

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  * Mostre que Qualquer conjunto $X$ com mais de dois pontos, munido da topologia caótica não é $T_{0}$.
  * Seja $X$ um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos. Fixe $x, y \in X$ distintos e defina $\tau=\{A \subset X: x, y \in A$ ou $A=\emptyset\}$. Verifique que $(X, \tau)$ é um espaço topológico. Contudo, mostre que não existe aberto em $X$ tal que $x \in A$ e $y \notin A$ ou $y \in A$ e $x \notin A$. Logo $(X, \tau)$ não é $T_{0}$.
  * Demonstre que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{0}$ se, e somente se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos e para quaisquer bases locais $\mathcal{B}_{x}, \mathcal{B}_{y}$ para $x$ e $y$ respectivamente, tivermos que $\mathcal{B}_{x} \neq \mathcal{B}_{y}$.
  * Mostre que $(X, \tau)$ é $T_{0}$ se, e somente se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos tivermos $\overline{\{x\}} \neq \overline{\{y\}}$.

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=== Espaços $T_1$===

 Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{1}$ se, e somente se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existir $A$ aberto tal que $x \in A$ e $y \notin A$.

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  * Demonstre que $(X, \tau)$ é $T_{1}$ se, e somente se, para todo $x \in X,\{x\}$ é fechado.
  * Mostre que um conjunto $X$ com a topologia cofinita é sempre $T_{1}$.
  * Mostre que um espaço finito é $T_{1}$ se, e somente se, tem a topologia discreta.
  * Dê um exemplo de um espaço $T_{0}$ que não seja $T_{1}$.
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=== Espaços $T_2$===

 Dizemos que $(X, \tau)$ é $T_{2}$ **(espaço de Hausdorff)** se, para todo $x, y \in X$ distintos, existem $A, B$ abertos tais que $x \in A, y \in B$ e $A \cap B=\emptyset$.

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  * Mostre que $X$ munido da topologia cofinita é $T_{1}$, mas não é $T_{2}$ se $X$ for infinito.
  * Demonstre que se $(X, d)$ é um espaço métrico, então tal espaço é de Hausdorff (com a topologia induzida pela métrica).
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=== Espaços $T_3$===

 Dizemos que $(X, \tau)$ é $T_{3}$ se, para quaisquer $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tais que $x \notin F$ existirem $A, B$ abertos tais que $x \in A$, $F \subset B$ e $A \cap B=\emptyset$. Se, além disso, $(X, \tau)$ é $T_{1}$, dizemos que $(X, \tau)$ é um **espaço regular**.

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  * Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Demonstre que $(X, \tau)$ é $T_{3}$ se, e somente se, para todo $x \in X$ e para todo aberto $V$ tal que $x \in V$, existe um aberto $A$ tal que $x \in A \subset \bar{A} \subset V$.
  * Prove que um espaço topológico $(X, \tau)$ é $T_{3}$ se, somente se, para todo $x \in X$ existe um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$.
  * Considere $\mathbb{R}$ com a topologia gerada pelos conjuntos da forma $ ] a, b[\backslash C $, onde $a<b \in \mathbb{Q}$ e $C \subset \mathbb{R}$ é enumerável. Vamos chamar tal espaço de reta esburacada.
    * Mostre que isso é uma base para tal topologia;
    * Mostre que tal espaço é de Hausdorff;
    * Mostre que todo subconjunto enumerável é fechado;
    * Mostre que tal espaço não é regular.

  * Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $Y \subset X$ subespaço. Mostre que se $(X, \tau)$ é $T_{i}$ para $i=0, \ldots, 3$, então $Y$ também é.

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=== Espaços $T_4$===
 
 Dizemos que $(X, \tau)$ é $T_4$ se, para quaisquer $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existirem $A, B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A, G \subset B$. Se, além disso, $(X,\tau)$ é $T_1$, dizemos que $(X, \tau)$ é **espaço normal**.

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  * Conclua que todo espaço $T_4$ é um espaço $T_3$.
  * Mostre que todo espaço métrico é $T_4$.
  * O espaço de Sierpinski é um espaço topológico $(X, \tau)$, de modo que, seja $X = \{a, b\}$, com $a \neq b$, e seja $\tau = \{\emptyset,{a}, X\}$. Mostre que esse espaço não é regular nem Hausdorff, mas é normal.
  * Mostre que todo espaço discreto é $T_4$.