===== Axiomas de Enumerabilidade =====
  

==== Definições e exemplos ====

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=== Primeiro Axioma de Enumerabilidade===

Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ satisfaz o **primeiro axioma de enumerabilidade (1st countable)** se, $\forall x \in X$, existe um sistema fundamental de vizinhanças enumerável. Neste caso, também dizemos que $(X, \tau)$ tem **bases locais enumeráveis**. 

Seja $(X, d)$ espaço métrico. Uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de pontos de $X$ é uma **sequência de Cauchy** se, $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para $n,m \geq 0$, $d(x_n,x_m) < \epsilon$.

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  * Mostre que a reta de Sorgenfrey satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
  * Prove que se $X$ é finito, então $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
  * Mostre que, se $X$ tem uma uma topologia discreta, então $(X \tau)$ sempre satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
  * Seja $(X, \tau)$ espaço topológico e $x_n \rightarrow x$, mostre que $x \in \overline{\{x_n : x \in \mathbb{N}\}}$
  * Seja $(X, d)$ um espaço métrico e $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de pontos de X tal que $x \rightarrow x_n$. Mostre que $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy.

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=== Segundo Axioma de Enumerabilidade===

Dizemos que $(X, \tau)$ satisfaz o **segundo axioma de enumerabilidade (2nd countable)** se admite uma base enumerável. 

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  * Mostre que um espaço que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade também satisfaz o primeiro.
  * A reta real satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade?
  * Mostre que a reta de Sorgenfrey não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
  * Prove que, se $(X, \tau)$ é um espaço regular que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então $(X, \tau)$ é um espaço normal.


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=== Terceiro Axioma de Enumerabilidade===

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é **denso** em $X$ se $\overline{D} = X$.

Dito isso, dizemos que $(X, \tau)$ satisfaz o **terceiro axioma de enumerabilidade (3rd countable)** se admite um subconjunto denso enumerável. Neste caso, dizemos também que $(X, \tau)$ é um **espaço separável**.

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  * Verifique se os seguintes espaços são separáveis:
      * A reta real;
      * A reta de Sorgenfrey;
      * Um espaço discreto de cardinalidade incontável.
  * Dado um espaço topológico $(X, \tau)$, mostre que, se ele satisfaz ao segundo axioma de enumerabilidade, ele é separável.
  * Seja $(X, d)$ um espaço métrico e separável, mostre que ele satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
  * É verdade que todo subespaço de um espaço que tenha base enumerável é separável?


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=== Espaços Metrizáveis===

Dizemos que o espaço topológico $(X, \tau)$ é um **espaço metrizável** se existe uma métrica sobre X que induz a topologia $\tau$.

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  * Mostre que cada subespaço de um espaço metrizável é metrizável.
  * A reta de Sorgenfrey é metrizável?
  * A "reta esburacada" consiste em $\mathbb{R}$ com a topologia gerada pelos conjuntos da forma $]a,b[\backslash C$, com $a < b \in C \subset \mathbb{R}$ é enumerável. Verifique se essa reta é metrizável ou não. Depois, verifique se ela é separável.